【大紀元7月21日訊】結論：一沙一世界、一花一天堂

注意到七之倍數的個位數和三之倍數的個位數倒過來的情況，是發現現象，但並不是發現原理，能夠由觀察中發現數學的規律現象是一種功力，但是要發現原理又是更進上一層樓的功力了。

如果仔細觀察七的倍數積木法第二種，就是由十根七的積木遞減的排法，當不難領悟它的原理，並進而由這個原理推知其它的現象和原理。

因此，數學的研究有三個步驟：

一、觀察，找到規律的現象。

二、找出促成此種現象的規律或原理。

三、以這種原理來觸類旁其它的現象和原理。

「九九乘法表」是非常有趣的東西，裡面有數系的形成原理在內，觀察一粒沙可以見出一個世界，但在有些人眼中，一粒沙不過是一粒沙，舉腳一踩就過去了。數學可以在很平凡的事物中發現高深的原理，而不是要到圖書館挖掘佈滿塵埃的罕見典籍。

傳統數學教育在教九九乘法方面非常粗糙，它總共只教兩樣東西:一是把九九乘法表背起來，二是急急忙忙地教乘法計算題和應用題。然而，對於乘法的規律和原理，因此而產生出來的諸多現象變化卻是矢口不提的。

許多時候，我很懷疑這是在教數學或學數學嗎？我們只教應用，但是並沒有教通數學的原理。

美國有一種學派叫做「發現數學」，就是從各種探索活動中發現新的規律現象，然後找出造成此種規律的原理。對小孩子來說，要發現有趣的現象一點也不難，因他們一天到晚都在睜大眼睛留心有新鮮和有趣的事物。但是我們要提供他材料，只叫他對著課本和抽象的符號沉思，他是沒有興趣的。最能讓小朋友發現數學的新世界的東西莫過於操作學具，在數學方面，就是數學積木和幾何模型了。

解題和活動：看相片和錄影帶

解數學題目和進行數學活動是不一樣的。解題是點到為止，解出答案來就算了，又開始進行下一個毫不相干的題目，可以說思考是斷斷續續的，點狀跳動的，因此有人發明了題組，就是要將散開來的題目以「一個主旨」貫串在一起。不妨說，解題以解出答案為目的，而數學活動卻以研究出整個數學意義為目的。

一項數學活動必須要設計到不間斷，持續進行下去，直到發現整個系統的原理為止。這就像七的倍數積木排法，不能只排出一個圖就滿意了，它必須持續進行，而且廣通所有變化，才能知道七的倍數意義。求意義和求答案不同：求答案就像照相機一樣，快速擷取某個畫面；求意義卻像看完一整捲錄影帶，而不是光看一張照片，我們必須要看完一整場電影，我們才知道意義為何。也就是研究數學，應該要研究完整個過程，而不是只擷取當中的一小片段浮光掠影。一個數學主題就像一道河流，有起點，有目的，通向海口的目的。我們本該從起點看到出口，來了解它的整個過程，精神和精華何在。但考試讓我們沒有辦法進行這麼重大的任務。

數學活動包括觀察和紀錄。然而幾乎每個小孩子都很容易從積木或幾何模型中觀察到各種有趣的現象，但是要尋找出促成此種現象的原理，並進一步解釋，就不是每個小孩都能獨力辦到的了。這有賴於大人的引導和支持，鼓勵和傾聽。大部分的小孩子都不會將他對圖案的觀察變成文字寫下來，但是他可以說得出來，如果有人在旁邊傾聽的話。甚至有心的家長可以為小孩紀錄數學思想。

要培養小小數學家，不是給他一堆紙上作業的習題，而是給他一些能發揮創造力的數學活動。

*圖表是必備的：積木即是「手」動圖表

要研究數學，圖表是必備的，就像統計學，它絕對離不開圖表。

如果我們要引導小朋友研究數字的變化，更是離開不了圖表。不要以為小朋友年紀小，就看不懂圖表。事實上，圖表比符號和數字，對任何人來說－不論小孩或大人，都更容易了解。如果我們期望小朋友成為小小數學家，不能不從小就給他數學家的工具，小孩的數學工具當然和大人的有點不同，它必須看起來漂亮、有趣、可以用手摸、能自由搬動。古氏積木是瑞士數學家Cuisenaire發明的，他把這一套積木稱之為「有顏色的數字」。積木的長短和不同的顏色就代表數字。從積木的排列圖中，可以歸納出許多攻勢和法則，可以說積木圖即是統計圖的一種，很類似長條圖，只是它不受限於二度空間，而且橫軸、縱軸、和高度可以自訂。

如果說研究物理和化學，都需要實驗工具，為何單獨數學不需要實驗工具?數學工具是用來操作，並幫助思考的。但是我們現在似乎以為符號是幫助數學思考的唯一工具，因此我們只會有紙和筆，要到什麼時候，我們上起數學課，也會有一個「數學實驗室」？

附錄：介紹古氏積木

上圖的合成六七八要自己粘製，古氏積木中沒有。

100：一百有兩種顏色，一種是黃色，一種是藍色，如下。

數學教育博士Dr. Eternal Yen

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